直线筛的细节

直线筛

直线筛是一种用于求解素数的算法，其核心思想是从小到大枚举每个数，将其倍数标记为合数，之后剩下的未被标记的数即为素数。本文将从以下四个方面对直线筛进行详细阐述。

算法原理

直线筛的算法原理非常简单，其核心思想是从小到大枚举每个数，将其倍数标记为合数，之后剩下的未被标记的数即为素数。具体实现时，可以使用一个数组来记录每个数是否被标记为合数，初始时所有数均为未标记状态，然后从小到大枚举每个数，如果该数未被标记，则将其所有倍数标记为合数。之后，数组中未被标记的数即为素数。

直线筛的优点在于可以快速地求解一定范围内的素数，时间复杂度为O(n)。相比于传统的试除法，直线筛的效率更高，尤其在求解大范围内的素数时表现更加明显。

算法实现

直线筛的实现非常简单，可以使用一个布尔类型的数组来记录每个数是否被标记为合数。具体实现时，可以先将所有数均标记为未标记状态，然后从小到大枚举每个数，如果该数未被标记，则将其所有倍数标记为合数。之后，数组中未被标记的数即为素数。

以下是直线筛的代码实现：

bool is_prime[N]; // 记录每个数是否为素数
vectorprimes; // 记录素数表
void linear_sieve(int n) {
    memset(is_prime, true, sizeof(is_prime)); // 初始化所有数均为素数
    for (int i = 2; i 算法优化虽然直线筛已经是一种非常效率高的求解素数的算法，但是仍然可以进行一些优化来进一步提效率高。首先，可以使用一个数组来记录每个素数的小质因子，这样可以避免重复标记合数。具体实现时，可以在枚举i的倍数时，只考虑i的小质因子对应的素数的倍数。其次，可以使用线性筛法来生成素数表，这样可以避免重复枚举每个数的倍数。具体实现时，可以在枚举i的倍数时，只考虑i的小质因子对应的素数的倍数，并且将i的小质因子对应的素数的倍数标记为i的小质因子对应的素数。以下是优化后的直线筛的代码实现：int min_factor[N]; // 记录每个数的小质因子
vectorprimes; // 记录素数表
void linear_sieve(int n) {
    memset(min_factor, 0, sizeof(min_factor)); // 初始化小质因子为0
    for (int i = 2; i 算法应用直线筛广泛应用于求解素数相关的问题，包括素数判定、素数个数统计、素数分解等。除此之外，直线筛还可以用于求解欧拉函数、约数个数函数等数论函数。以下是直线筛在求解欧拉函数时的代码实现：int phi[N]; // 记录欧拉函数值
vectorprimes; // 记录素数表
void linear_sieve(int n) {
    memset(phi, 0, sizeof(phi)); // 初始化欧拉函数值为0
    for (int i = 2; i 通过直线筛求解欧拉函数，可以快速地求解一定范围内的欧拉函数值，时间复杂度为O(n)。