直线筛

直线筛：什么是直线筛？

直线筛是一种用于素数筛选的算法。素数是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。素数在数学中具有重要的地位，因为它们是所有正整数的基本构成单元。直线筛可以效率高地找出一定范围内的素数。

直线筛之前由埃拉托斯特尼（Eratosthenes）在公元前3世纪提出，他发明了一种称为“埃氏筛法”的算法。这种算法可以找出一定范围内的素数，但是在处理大范围内的素数时效率较低。直线筛是基于埃氏筛法的改进，可以更快速地找出大范围内的素数。

直线筛的基本思想是：对于每个素数p，将p的倍数标记为合数，这样*可以得到一张素数表。具体实现时，可以使用线性筛法，通过预处理出小于等于n的所有素数，然后对于每个正整数i，从小到大枚举素数表中的每个素数p，如果p是i的因子，则将i标记为合数。这样，之后剩余的未标记的正整数*是小于等于n的所有素数。

直线筛：为什么直线筛比埃氏筛法更快？

直线筛比埃氏筛法更快的原因在于，直线筛使用了线性筛法。线性筛法是一种可以在O(n)的时间复杂度内预处理出小于等于n的所有素数的算法。这种算法的基本思想是：对于每个正整数i，只考虑它的小质因子p，然后将i*p的小质因子标记为p。这样，每个正整数只会被标记一次，因此时间复杂度为O(n)。

在直线筛中，使用线性筛法预处理出小于等于n的所有素数，然后对于每个正整数i，从小到大枚举素数表中的每个素数p，如果p是i的因子，则将i标记为合数。这样，每个正整数只会被标记一次，因此时间复杂度为O(n)。相比之下，埃氏筛法需要对每个正整数进行标记，因此时间复杂度为O(nloglogn)。

直线筛：如何实现直线筛？

直线筛的实现可以分为两个步骤：预处理和筛选。预处理的目的是生成小于等于n的所有素数，筛选的目的是找出小于等于n的所有素数。

预处理可以使用线性筛法，在O(n)的时间复杂度内生成小于等于n的所有素数。具体实现时，可以使用一个数组prime来存储素数，prime[i]表示第i个素数。初始化时，将prime[1]=2，然后从2开始枚举每个正整数i，如果i是素数，则将prime[++cnt]=i。

筛选时，可以从小到大枚举每个正整数i，对于每个正整数i，从小到大枚举素数表中的每个素数p，如果p是i的因子，则将i标记为合数。具体实现时，可以使用一个数组vis来记录每个正整数是否被标记为合数，vis[i]=0表示i是素数，vis[i]=1表示i是合数。

直线筛：直线筛的应用

直线筛在素数筛选中有广泛的应用。除了可以用来找出小于等于n的所有素数之外，还可以用来判断一个数是否为素数，或者找出一个数的所有质因子。

直线筛还可以用来解决一些数论问题，如欧拉函数、莫比乌斯函数、约数个数函数等。这些函数在数论研究中具有重要的地位，直线筛可以效率高地计算它们的值。

此外，直线筛还可以用来解决一些算法竞赛中的问题，如数位dp、小表示法等。在这些问题中，直线筛可以帮助我们快速地得到一些数学性质，从而简化问题的求解。